Aksonometria prostokątnana
lepiej odwzorowywuje przestrzeń niż aksonometria ukośna
i dlatego powinna być jak najczęściej stosowana.
Podobnie jak w rzutowaniu prostokątnym (normalnym) na dwie lub na trzy
rzutnie, rzutujemy w niej objekty przestrzenne prostopadle, ale tylko na jedną
rzutnie
Przez odpowiednie obracanie
obiektu trójwymiarowego możemy w rzutach prostokątnych otrzymać
jego owzorowanie aksonometryczne.
Poniżej (rys. 1) przykład z sześcianem:
Rys. 1
Najpierw mamy sześcian
w położeniu normalnym (1. faza).
W drugiej fazie obracamy sześcian wokół osi pionowej o pewien kąt
δ.
W trzeciej fazie pochylamy sześcian do przodu o pewien kąt φ
(obrót wokół pewnej osi poziomej równoległej do osi X).
W ten sposób uzyskujemy widok sześcianu, gdzie pionowe krawędzie sześcianu
odwzorowane są jako linie pionowe.
Ten widok (na rys. 1 w kolorze żółtym) możemy traktować
więc jako obraz sześcianu w aksonometrii prostokątnej
Uwaga: zamiana
kojejności obrotów prowadzi do innych, niepożądanych rezultatów.
Na tab. I przedstawione są różne położenia sześcianu. Kąty δ i φ przyjmują wartości od 0° do 90° co 5°.
Tab. I
Tu tablica l w wielkości 2024*2024 pixeli w formacie PNG i w wersji linearnej.
Bryły obrotowe o pionowej osi są w aksonometrii prostokątnej poprawnie odwzorowywane.
Tab. II
Wykonywanie rysunków aksonometrycznych za pośrednictwem rzutów prostokątnych jest dość uciążliwe. Metoda bezpośrednia jest szybsza i wygodniejsza.
W roku 1975 na
Politechnice Wrocławskiej opublikowałem pracę "Nowy sposób
wyznaczania parametrów aksonometrii prostokątnej".
Opisaną tam innowacyjną metodę, którą nazwijmy 'metodą Doro',
przedstawiam w skrócie tutaj.
Metoda ta jest prostsza i wygodniejsza niż podręcznikowa metoda z trójkątem
śladów, która ma cechy przypadkowości.
Na rys. 2
mamy projekcję kuli jednostkowej (promień = e = 1) na płaszczyznę
XZ, a na rys. 3 dwa rzuty prostopadłe tej kuli.
Wychodzące ze środka kuli trzy osie aksonometryczne odpowiadają
pewnym trzem wzajemnie prostopadłym osiom x, y i z, które zostały obrócone
o kąty δ i φ.
Poziome osie x i y leżą w plaszczyźnie równikowej
kuli, a oś z przechodzi przez jej biegun północny N. Równik kuli
widoczny jest jako elipsa.
Rys. 2
Rys. 3
Z powyższych rysunków
wynika:
półosie wielkie elipsy A''O'' = B''O'' = 1
półosie małe elipsy C''O'' = D''O'' = sin
φ =
v
Oś pionową widzimy w skrócie; mamy przy tym O''N'' = cos
φ
Położenie osi aksonometrycznych xa
und ya zależy od kąta obrotu δ,
ale zawsze stanowią one parę osi sprzężonych elipsy.
Do wyznaczenia ich wykorzystujemy pewną własność metody
papierkowej wyznaczania punktów na elipsie
Dwa wzajemnie prostopadłe
położenia paska papieru określają punkty dwóch osi sprzężonych
elipsy (Rys. 4).
Rys. 4
Rys. 4 jest kwintensencją mojej
metody.
Zielone odcinki przedstawiają symbolicznie skrawek papieru w dwóch
wzajemnie prostopadłych położeniach, przy czym ich nachylenie
odpowiednio do osi X i Y wynosi δ (sic!).
Wszystkie parametery aksonometrii prostokątnej można obliczyć także rachunkowo (rys. 5).
Rys. 5
Parametery aksonometrii:
Mamy dane: kąt obrotu δ i kąt pochylenia φ.
Wówczas:
v = sin φ
Koordynaty poziome:
wx = cos δ
wy
= sin δ
Koordynaty pionowe i skróty:
sx = sin δ
* sin φ
= v * sin δ
sy = cos δ
* sin φ
= v * cos δ
ex = SQRT (cos2
δ + v2 * sin2 δ)
ey
= SQRT (sin2 δ + v2 * cos2 δ)
ez = cos φ
Uwaga: SQRT oznacza pierwiastek kwadratowy
Znana jest następująca równość:
ex2 + ey2 + ez2 = 2
Uwaga
Jeśli ktoś chciałby korzystać dodatkowo z kostrukcji opartych na tzw. trójkącie śladów aksonometrycznych, to może dorysować dowolnie wielki trójkąt, ktąrego boki są prostopadłe do osi xa, ya i za.
Znana i popularna jest izometria.
Jest to szczególny przypadek aksonometrii prostokątnej.
W przypadku izometrii kąty między osiami aksonometrycznymi xa,
ya i za
są jednakowe i wynoszą 120° (Rys. 6).
Również skróty są jednakowe (ex
=
ey =
ez =
0,8165). W praktyce przyjmuje się je za 1, czyli obiekty przestrzenne
rysowane są nieco powiększone (122,5%).
Rys. 6
Według mojej metody kąty δ und φ w przypadku izometrii wynoszą odpowiednio 45° oraz 35,2644° (35°15' 52").
Przypis
Skróty aksonometryczne
mają duże znaczenie, gdyż decydująco wpływają na spostrzeganie
i na rozpoznawanie obiektów na rysunkach aksonometrycznych.
Zabawnym potwierdzeniem tego jest przykład iluzji optycznej Rogera N.
Sheparda z dwoma stołami:
Widzimy na obrazku dwa stoły, z których ten
po lewj stronie wydaje sie być węższym niż prawy.
Z niedowierzaniem przyjmujemy fakt, że oba blaty stołów mają na
rysunku ten sam kształt i wielkość! Proszę
kliknąć na grafikę w celu sprawdzenia tego.
© Tadeusz E. Dorozinski
Stand: 15.11.2012