Eine lose Kugelpackung mit beliebig kleiner Dichte

Die Ausgangsfigur zur Konstruktion unserer Kugelpackung ist das 3D-Netz 6-4. Es ist ein Unternetz des kubischen Netzes.
Ein Ausschnitt dieses Netzes sieht wie ein verschnürtes, kubisches Paket aus (Abb. 1).

 
Abb. 1

Dieses Netz wird modifiziert, wie auf der Abb. 2 dargestellt, und so erhalten wir die Mittelpunktfigur einer homogenen, losen Kugelpackung (Abb. 3). Jede Kugel  hat drei Kontaktpunkte. Der Mittelpunkt jeder Kugel befindet sich auf der Oberfläche der Elementarzelle (Kubus). Die Dichte dieser KP beträgt d = 0,11163. Diese KP lässt sich "verdünnen"!

Abb. 2

Abb. 3

Beim unserem Paket aus der Abb. 1 kann man die Anzahl der Schnüre verdoppeln, dann verdreifachen usw. (Abb. 4) und so entstandene Netze entsprechend modifizieren (Abb. 5). 
Bei allen diesen Netzen kommt immer nur ein Knotentyp vor.

 
Abb. 4

Abb. 5

So entsteht die Serie der losen Kugelpackungen, die mit jedem "Verdünnungsschritt"  immer kleinere Dichte aufweisen. 

Abb. 6

Abb. 7

In der Abb. 8 wurde die vordere Schicht  der Kugel weggenommen, um die Leere im Inneren zu zeigen.

Abb. 8

Berechnung der Dichte

Bezeichnen wir:

i - Anzahl der Verdünnungsschritten.
n_i  - die Anzahl der Kugeln, die jede Elementarzelle berühren.  
a_i  - die Kubus-Kantenlänge  jeder Elementarzelle (Gitterkonstante). 

Dann:

n_i = 24 * (i² + i)

a_i = 2 * (1 + i) * (1 + √2)

Da der Mittelpunkt jeder Kugel sich auf der Oberfläche der Elementarzelle befindet, bedeutet, dass nur eine Kugelhälfte im Inneren der Elementarzelle liegt. 
Entsprechend kann man  die Dichte  d_i aus der folgenden Formel errechnen:

d_i = 16 π * (i² + i) / a_i³

So erhalten wir:

i = 1        d = 0,11163
i = 2        d = 0,09923
i = 3        d = 0,08372
i = 4        d = 0,07144
i = 5        d = 0,06202
i = 6        d = 0,05468

i = 10      d = 0,036904

i = 20      d = 0,020251

i = 50      d = 0,008584

i = 100    d = 0,004377

Es ist offensichtlich, dass mit den größeren Werten von i die Dichte d_i immer kleiner wird und im Grenzfall erhalten wir:

lim d_i = 0
^{i →}∞

Bemerkung

Das ist nicht einzige Serie von Kugelpackungen, deren Dichte beliebig klein ist.
Die lose Kugelpackung mit der Dichte d = 0,03668, die ich am 13.02.2006 hinzugefügt habe, kann man auch "verdünnen".

Hier die Netzschema der zweiten Iteration als o2c-Objekt.
Entsprechende Dichte beträgt: d = 0,03622

Stand: 16.02.2006
Erstellt: 11.01.2005