Abb. 1
Eine lose Nano-Kugelpackung mit beliebig kleiner Dichte
Einfache Raumfüllung mit sechseckigen Prismen (Abb. 1) fungiert hier als Ausgangsform für eine Kugelpackungsserie mit beliebig kleiner Dichte.
Abb. 1
Streifen eines hexagonalen Netzes platzieren wir auf jeder Seitenflächen sechseckigen Prismen, so wie auf Abb. 2 dargestellt.
Abb. 2
Es entsteht ein 3D-Netz, dessen alle Knotenpunkte gleich sind. Dieses Netz stellt die Mittelsfigur der Kugelpackung in der Abb. 3 dar.
Abb. 3
Die Streifen eines hexagonalen Netzes können verschiedene Breiten haben (Abb. 6). Auf der Abb. 4 und 5 sehen wir die Kugelpackung wo diese Breite am kleinsten ist.
Abb. 4
Abb. 5
Berechnung der Dichte
Bezeichnen wir:
i - Anzahl der
Zickzacklinien auf einer Seitenfläche,
ai - die Breite der Seitenfläche der Prismen,
h - die Höhe einer Schicht.
Abb. 6
Wir nehmen die
Länge der Bindungen als 2 an. Folglich die Kugel haben den Radius gleich 1.
Dann:
ai = 3i + 2
h = 2 √3 = 3,4641
und die Dichte
di = 8π * (3 i +1) / 27*(3i +2)2
So erhalten wir:
i = 1 d
= 0,148935
i = 2 d = 0,101811
i = 3 d = 0,076929
i = 4 d = 0,061740
i = 5 d = 0,051535
i = 6 d = 0,044215
i = 10 d = 0,028180
i = 20 d = 0,014771
i = 50 d = 0,006084
i = 100 d = 0,003072
Es ist offensichtlich, dass mit den größeren Werten von i die Dichte di immer kleiner wird und im Grenzfall erhalten wir:
lim di
= 0
i →∞
Supplement
1. Die bereits oben erwähnte Raumfüllung mit sechseckigen Prismen kommt in der Natur vor. Basaltformationen haben in etwa diese Form (Abb. 7).
Abb. 7
Bekannt sind folgende Basaltformationen:
• Giant's Causeway im Norden Irlands,
• Panska Skala (Herrenhausfelsen) in Kamenický Šenov in Tschechien,
• Los Organos auf der Insel La Gomera,
• Devils Postpile column in Californien,
• Svartifoss (mit Wasserfall) auf Island.
2. Das 3D-Netz in der Abb. 2 hat Muster,
das aus Nanotechnologie bekannt ist.
Es ist möglich, Formen zu konstruieren, die man Multi-Nanotubes nennen kann
(Abb. 8)
Stand: 12.12.2009
Erstellt: 03.11.2009