Umwandlung der kubisch primitiven Kugelpackung in die dichteste Kugelpackung

 Die kubisch primitive Kugelpackung ist relativ einfach. In der Abb. 1 sehen wir ein Ausschnitt dieser Packung.

Abb. 1

Die Mittelpunktsfigur dieser Packung bildet ein kubisches Gitter, also 3D-Netz  N6.
Die Kontaktzahl beträgt 6 und die Dichte der Packung d = 0,5236.

In zwei Schritten kann man diese Kugelpackung in die dichteste Kugelpackung umwandeln.

Im ersten Schritt (Abb. 2) skalieren wir die Mittelpunktsfigur in zwei waagerechten Richtungen so, dass jede Kugel jetzt 8 Kontakte hat.

Abb. 2

Die Dichte dieser Packung beträgt jetzt 0,6067.
Beim Skalieren beträgt der Koeffizient in der Richtung x:  k₁ = SQRT(3/2) = 1,22475 und in der Richtung y:  k₂ = 1/2 * SQRT(2) = 0,7071.

Im zweiten Schritt (Abb. 3) führen wird zuerst die Scherung nach der Formel:  x' = x + kz, wobei  k = 1/3 * SQRT(3) = 0,5775.
Danach wird es in der Richtung z skaliert, mit dem Koeffizient  k₃ = 1/2 * SQRT(2,66666) = 0,8165.
Jetzt jede Kugel hat 12 Kontakte. Es is die dichteste, reguläre Kugelpackung, deren Dichte beträgt d = 0,7405.

Abb. 3

In der Abb. 4 sehen wir die Animation, die ganze Umwandlung der Kugelpackung zeigt.

Abb. 4

Die Mittelpunkte der Kugeln aus der Abb. 1 bilden ein Kubus. Stellen wir ihn auf einer Ecke so, dass eine Diagonale senkrecht verläuft,
dann kann man die Umwandlung in einem Schritt realisieren (Abb. 5)

Abb. 5

Diesmal  wird die Mittelpunktsfigur in allen drei Richtungen skaliert. 
Dabei beträgt der Koeffizient der Skalierung  in der Richtung x und y:  k₁ = 1/2 * SQRT(2) = 0,7071
und in der Richtung z:  k₂ = SQRT(2) = 1,4142.

Auch die kubisch-raumzentrierte Kugelpackung kann man in die dichteste Kugelpackung umwandeln.

Dabei beträgt der Koeffizient der Skalierung  in der Richtung x und y:  k₁ = 1/2 * SQRT(3) = 0,866
und in der Richtung z:  k₂ = SQRT(3/2) = 1,2247.

Stand: 09.03.2012