Kuppeln mit Fünf- und Sechsecken

Interessant sind auch Kuppeln, wo nur  Fünf- und Sechsecken als Seitenflächen vorkommen, wobei die Fünfecken immer regelmäßig sind und dessen Anzahl 12 beträgt.
Übrige Seitenflächen sind sechseckig.  Die Sechsecke sind meistens unregelmäßig.
Die kleinste solche Kuppel ist das abgestumpftes Ikosaeder mit 12 Fünf- und 20 regelmäßigen Sechsecken.

Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln aus Dreiecken.

Zwei Typen solchen Kuppeln kann man unterscheiden:

   Typ I, wo die Fünfecke gleiche Lage  wie im Dodekaeder haben (lila Fünfecke in oberen Bildern). Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln Klasse I.
   Typ II, wo die Fünfecke gleiche Lage  wie im abgestumpften Ikosaeder haben (rote Fünfecke in oberen Bildern). Diese Kuppeln sind dual zu geodätischen Kuppeln Klasse II.

Anzahl der Seitenflächen einer Kuppel kann man aus folgenden Formeln errechnen:

   Typ I:  F_n = 10 * n * (n - 2) + 12,  wobei n =>3 ist.
   Typ II:   F_n = 30 * n * (n - 2) + 32,  wobei n =>2 ist. 

Die Variable 'n' bedeutet 'die Frequenz', und die kann Werte der natürlichen Zahlen annehmen,  z. B. 2, 3, 4, ... 

So bekommen wir entsprechend :

Typ  I:
      F₃  =    42   
      F₄  =    92   
      F₅  =  162   
      F₆  =  252   
      F₇  =  362   
      F₈  =  492   
      F₉  =  642   
      F₁₀ =  812 
      F₁₁ =1002 

Typ II:
      F₂  =     32   
      F₃  =   122   
      F₄  =   272   
      F₅  =   482   
      F₆  =   752   
      F₇  = 1082 
      F₈  = 1472 
      F₉  = 1922  

 und  so weiter.

Anzahl der Ecken kann man dann aus dieser  Formel errechnen:

      E = 2 * (F - 12) + 20 

 und  dann auch Anzahl der Kanten aus dem Eulerschen Polyedersatz:

      K = E + F - 2    

bzw. aus dieser Formel:

     K = 3 * (F - 12) + 30 .

Hinweis:

  =  Kuppel als o2c-Objekt.

Stand: 01.11.2011