Stożkowe jako obwiednie rodzin prostych

Krzywe stożkowe są obwiedniami rodzin prostych gdy kierownicami są pary prostych lub okręgów.

1. Parabola

Rysunek ten możemy traktować jako rzut wycinka paraboloidy hiperbolicznej. Stąd wniosek, że obwiednia rodziny prostych jest parabola.

2. Elipsa i hiperbola

Oba powyższe rysunki możemy potraktować jako rzyty ukośne jednopowłokowej paraboli hiperbolicznej. Zatem obwiebnią prostych jest odpowiednio elipsa i hiperbola.

Ciekawy jest przypadek, gdzie jedną kierownicą jest prosta, a drugą okręg. 
Na pierwszym rysunku punkty na okręgu są wybrane tylko raz, a na drugim dwukrotnie.

Jakimi krzywymi są obwiednie? Ja nie znam odpowiedzi.

W przesrzeni rodzina prostych łącząca odpowiednie punkty na prostej i okręgu tworzyłaby powierzchnię konoidalną.
Ponieważ punkty na okręgu można przebiegać wielokrotnie, to otrzymujemy powierzchnią samoprzecinającą się. 

Przy innym układzie okręgu i prostej otrzymujemy powierzchnię jak poniżej.

Zobacz powierzchnie jako obiekt o2c (kliknij na grafikę).

Inspiracją do narysowania powyższych rysunków był artykul Krzysztofa Omiljanowskiego  "Wszystkie połowiące obwód trójkąta" na Wrocławskim Portalu Matematycznym,
Przy problemie polowienia obwodu prostych figur płaskich mamy do czynienia z rodzinami prostych, gdzie kierownicami mogą być proste, okręgi i inne krzywe.

Poniżej propozycje prostych figur, w których można badać połowiące obwód. Wystarczy zbadać te połowiące, które przecinają odcinek lub łuk AB.

© Tadeusz E. Dorozinski

Stand: 17.04.2010