Geodätische KUPPELN (Geosphären)
engl. Geodesic Domes


Beispiele:

Kuppeln mit Symmetrieebenen:

Klasse I (Class I)

       

Klasse II (Class II)

Kuppeln ohne Symmetrieebenen, mit dem "Dreh" (twisted domes):

Klasse III (Class III)


Duale Kuppeln


Kurze Einleitung


Geodätische Kuppeln  sind kugelförmige Gebilde, die aus Dreiecken aufgebaut sind .
Die kleinste, "runde" Geosphäre ist das Ikosaeder, das aus 20 gleichseitigen Dreiecken gebaut ist.

Ikosaeder

Das ist die beste Ausgangsfigur für weitere Geosphären.
Durch regelmäßiges Teilen in kleinere Dreiecke kann man Kuppeln mit größeren Anzahl der Seitenflächen
konstruieren.

Im 2D-Dreiecksnetz kann man drei Netzpunkte so auswählen, dass ein gleichseitiges Dreieck gebildet wird (Abb.1).


Abb.1 Abb.2


Dieses weiße Dreieck beinhaltet eine gewisse Anzahl von Netzmaschen (kleinen Dreiecken), wie es die Abb.2 zeigt.
Die Fläche der blauen Figur ist gleich wie die Fläche des weißen Dreiecks.

Die Anzahl der kleinen Dreiecken in der blauen Figur kann man nach folgender Formel berechnen:

N = m² + m n + n²

 

Für Klasse II, wo  m = n:
N = 3m²

 

m=1

m=2

m=3

m=4

m=5

m=6

m=7

m=8

m=9

m=10

n=0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

n=1

3

7

13

21

31

43

57

73

91

111

n=2

7

12

19

28

39

52

67

84

103

124

n=3

13

19

27

37

49

63

79

97

117

139

n=4

21

28

37

48

61

76

93

112

133

156

n=5

31

39

49

61

75

91

109

129

151

175

n=6

43

52

63

76

91

108

127

148

171

196

n=7

57

67

79

93

109

127

147

169

193

219

n=8

73

84

97

112

129

148

169

192

217

244

n=9

91

103

117

133

151

171

193

217

243

271

n=10

111

124

139

156

175

196

219

244

271

300

Im Beispiel der Abb.2 ist m=3 und n=2. N beträgt 19. Diese 19 Dreiecke projiziert man auf eine Seitenfläche des Ikosaeders, dann auf eine Kugel, und man hat ein Segment der Kuppel. 20 Segmente bilden eine Geosphäre mit 20 * 19 = 380 Dreiecken.
Bei n=0 (Klasse I) und n=m (Klasse II) sind die Kuppeln symmetrisch, sonst haben wir zwei chirale Formen: linke und rechte, spiegelbildlich gleich (Klasse III).

Die Anzahl der Dreiecke  F  auf der ganzen Kuppel beträgt:  
F = 20 * N 
Die Kantenanzahl  K  lässt sich so berechnen: jedes Dreick beinhaltet 3 Kanten, aber zwei benachbarte Dreiecke haben eine gemeinsame Kante, also
K = 3 * F / 2 
Die Anzahl der Ecken  E  der Kuppel kann man dann nach dem Eulerschen Polyedersatz  (E + F = K + 2) berechnen:
E = K - F + 2

Eine bekannte geodätische Kuppel ist La Geode in Paris. Bei der ist m=20, n=0, F=8000, K=12000 und E=4002.  Ihr Durchmesser beträgt 36 m.


© Tadeusz E. Dorozinski
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Stand:14.08.2013

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